集合论的出现，为近代数学的发展提供了有力的工具。就在数学家踌躇满志的时候，集合论中出现了悖论。康托尔自己就发现了康托尔悖论（包含一切集合的集合是否存在？），更严重的是罗素悖论，其中涉及的是以自己为元素的集合。这被称为“第三次数学危机”。后来这种定义被公理排斥掉了，危机得以解决